ce utumer

Pour y parvenir, il est nécessaire d'observer que, si Ton donne aux deux variables x et y des valeurs déterminées, on pourra former relativement au système de ces valeurs, trois hypothèses différentes. En eflet il pourra se foire ; i° que pour le système dont il s'agit un seul polynôme devienne supérieur à tous les autres; 2° que deux polynômes ep, eq deviennent égaux entre eux et supérieurs à tous les autres; 3° que trois polynômes au moins ep, eqi e,. soient égaux entre eux et supérieurs à tous les autres. Si la première hypothèse a lieu, elle subsistera encore, lorsqu'on fera varier séparément œ et y entre certaines limites. Si la seconde hypothèse a lieu, elle subsistera encore, lorsqu'on fera varier a? et y entre certaines limites, de manière toutefois que r équation ep—eq soit toujours satisfaite. Mais si la troisième hypothèse a lieu, elle subsistera uniquement pour le système de valeurs à'x et d'y déterminé par l'équation double

Suivant que l'un ou l'autre de ces trois cas aura lieu, je dirai que le système donné est du premier, du second ou du troisième ordre. Cela posé, les théorèmes 4°» 5°, 9° et io"du Mémoire présenté à l'Institut, suffiront pour déterminer la limite du nombre d'essais qu'on sera obligé de faire, dans le cas où l'on ne considère que deux éléments. Nous allons réduire ces quatre théorèmes à ce qu'ils doivent être dans le cas particulier dont il s'agit.

THÉORÈME IV. — Si Von passe successivement en revue tous les systèmes possibles de valeurs d^x et d'y, on trouvera que les systèmes du premier ordre ont pour limites respectives les systèmes du second ordre, et que ceux-ci ont eux-mêmes pour limites les systèmes du troisième ordre.

Démonstration. — Comme pour chaque système de valeurs d'à? et d'y il est nécessaire qu'au moins un polynôme surpasse tous les autres, les divers systèmes de valeurs &x et d'y se trouveront répartis